MATEMÁTICAS
Función cuadrática y ecuaciones cuadráticas
1-. La función cuadrática
1.1 Definición de función cuadrática
Consideremos el siguiente problema: " Tenemos el material suficiente para construir una cerca cuyo perímetro mida 60 metros lineales ¿cual es la superficie con la mayor área que puede encerrarse con una cerca de la longitud indicada?
2x + 2y = 60 = x + y = 30 = y = 30 - x
La superficie cercada esta dada por S = xy. Escribimos la superficie como una función solo de x:
5(x) = x(30-x) = 5(x) = 30x -x²
2-. Análisis de la función cuadrática
La gráfica de una función de segundo grado es siempre una parábola esta curva es simétrica respecto de una linea recta vertical , llamada eje de simetría que pasa por el vértice de la parábola
2.1 Vértice de la parábola
Las coordenadas del vértice ( xv , xy ) de la parábola que corresponde a la función F(x) =
3-. Situaciones que se analizan mediante funciones cuadráticas
Distintos tipos de situaciones pueden modelarse utilizando funciones cuadráticas. por tanto, el análisis algebraico y gráfico de la función contribuye a comprender algunos aspectos de la situación que se modela
Ejemplo
Durante una situación de emergencia , el capitán de un barco dispara una señal luminosa para alertar a la guardia naval. El movimiento de la señal luminosa que alcanza la señal y T el tiempo (en segundos) que ha recorrido después del disparo.
a) ¿ cual es la máxima altura que alcanza la señal?
La función h(t) = 80t - 5² tiene a = - 5, b = 80 y c=0 entonces , es cóncava hacia abajo y el vértice es un máximo.
la coordenada Yv del vértice es la máxima altura que alcanza la señal entonces:
= 320 metros
b) ¿ cuantos segundos pasan , después del disparo , hasta que la señal luminosa alcanza su máxima altura?
= 8 Segundos
4-. La ecuación cuadrática
4.1 Forma general de la ecuación cuadrática
Los ceros de una función cuadrática F(x) -.
son los valores en los que la parábola corta al eje X ; esos valores corresponden a puntos cuya ordenada y es igual a cero. por tanto , para hallar esos valores del eje x debemos hallar los valores para los cuales y = f(x) = 0. Esto da lugar a una ecuación Cuadrática.
Ejemplo:
5-. Resolución de ecuaciones completas por Factorizacion
Una ecuación cuadrática completa se resuelve aplicando alguno de los siguientes métodos
-. Factorizando la ecuación
-. Completando cuadrados
-. Empleando la formula general
4.1 Forma general de la ecuación cuadrática
Los ceros de una función cuadrática F(x) -.
son los valores en los que la parábola corta al eje X ; esos valores corresponden a puntos cuya ordenada y es igual a cero. por tanto , para hallar esos valores del eje x debemos hallar los valores para los cuales y = f(x) = 0. Esto da lugar a una ecuación Cuadrática.
Ejemplo:
Una ecuación cuadrática completa se resuelve aplicando alguno de los siguientes métodos
-. Completando cuadrados
-. Empleando la formula general
El método de factorizacion consiste en factorizar la ecuación cuadrática y luego ,igualar cada factor a cero.Este método se basa en el siguiente hecho: " si la multiplicación de dos números o expresiones es igual a cero , entonces alguna o ambas deben ser igual a cero".
Ejemplo:
Resuelve por factorizacion:
Logaritmos y exponentes
1-. Definición de logaritmo
Otra , cuyo resultado es el exponente y: esta operación consiste en encontrar el logaritmo de x en base b: log(x=y)
Ejemplos:
como 2^3=8 , entonces log 2 8=3
como 5^-1= 1/5 entonces log 5 1/5=-1
2-. Consecuencias de la definición de logaritmo
Ejemplo
-Por 1: log5 1=0
-Por 2: log2 2=1
- Por 4: log5 5^4=4
3-. Propiedades de las operaciones con logaritmos
Los logaritmos fueron inventados para facilitar los cálculos aritméticos aplicamos a una multiplicación que se transforma en una adición si aplicamos a una división se vuelve sustracción y si lo aplicamos a una potencia se transforma en una multiplicación
Logaritmo de un producto :logb (AB)=logb A+logb B
Logaritmo de un cociente: log e^B(A/(B)=logA-log(e^b)B
Logaritmo de una potencia y de una raiz: log(e^b)root(A, n)=log(e^b)(A/n)
4-.Ecuaciones logarítmicas
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
5-. Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
6-. Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Las funciones exponencial y logarítmica son las que tienen más presencia en los fenómenos observables, por lo que existen diversidad de situaciones cuyo estudio implica el planteamiento de ecuaciones exponenciales o logarítmicas.
Razones Trigonométricas
1-.Ángulos y medición de ángulos
1.1 Angulo trigonométrico
Sobre un sistema de ejes cartesianos, trazamos una semirrecta cuyo origen se encuentra en el punto O. si la hacemos rotar sobre O hasta una posición terminal, obtenemos la semirrecta OP y determinamos un angulo que se dice que esta en posición normal.
Un angulo esta en posición normal cuando su vértice se encuentra sobre el origen de coordenadas(0,0) y su lado inicial coincide con el eje positivo X , eje al cual podemos llamar origen de ángulos.
Un angulo es positivo si la rotación se realiza en sentido antihorario. Un angulo es negativo si la rotación se realiza en sentido horario Segun la posición del lado terminal, un angulo puede pertenecer al primer cuadrante (I C), al segundo (II , C), al tercero(III , C) o al cuarto (IV C)
1.2 Medición de ángulos en el sistema sexagesimal
En el sistema sexagesimal, los ángulos se miden en grados,minutos y segundos Cada grado se divide en
1 h 60 minutos 60 segundos
2-.Relación entre grados y radianes
Un radián equivale al ángulo definido por el arco de una circunferencia, siendo la longitud de ese arco igual al radio.
90° = ½ π Radianes
180° = π Radianes
270° = (3/2) π Radianes
360° = 2π Radianes
2-. Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones
Resolver un triangulo rectángulo significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de los tres ángulos. para esto se requiere conocer al menos:
la longitud de dos lados
la longitud de un lado y la medida de uno de los ángulos agudos.
Ejemplo:
Resuelve por factorizacion:
Logaritmos y exponentes
1-. Definición de logaritmo
-. La potenciacion se presenta tres variables( b , x , y ), tiene lógicamente dos operaciones inversas:
-Una , llamada radicacion , cuyo resultado es la base b
Ejemplos:
como 2^3=8 , entonces log 2 8=3
como 5^-1= 1/5 entonces log 5 1/5=-1
2-. Consecuencias de la definición de logaritmo
-Por 1: log5 1=0
-Por 2: log2 2=1
- Por 4: log5 5^4=4
3-. Propiedades de las operaciones con logaritmos
Los logaritmos fueron inventados para facilitar los cálculos aritméticos aplicamos a una multiplicación que se transforma en una adición si aplicamos a una división se vuelve sustracción y si lo aplicamos a una potencia se transforma en una multiplicación
Logaritmo de un producto :logb (AB)=logb A+logb B
Logaritmo de un cociente: log e^B(A/(B)=logA-log(e^b)B
Logaritmo de una potencia y de una raiz: log(e^b)root(A, n)=log(e^b)(A/n)
4-.Ecuaciones logarítmicas
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
5-. Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
6-. Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Las funciones exponencial y logarítmica son las que tienen más presencia en los fenómenos observables, por lo que existen diversidad de situaciones cuyo estudio implica el planteamiento de ecuaciones exponenciales o logarítmicas.
Razones Trigonométricas
1-.Ángulos y medición de ángulos
1.1 Angulo trigonométrico
Sobre un sistema de ejes cartesianos, trazamos una semirrecta cuyo origen se encuentra en el punto O. si la hacemos rotar sobre O hasta una posición terminal, obtenemos la semirrecta OP y determinamos un angulo que se dice que esta en posición normal.
Un angulo esta en posición normal cuando su vértice se encuentra sobre el origen de coordenadas(0,0) y su lado inicial coincide con el eje positivo X , eje al cual podemos llamar origen de ángulos.
Un angulo es positivo si la rotación se realiza en sentido antihorario. Un angulo es negativo si la rotación se realiza en sentido horario Segun la posición del lado terminal, un angulo puede pertenecer al primer cuadrante (I C), al segundo (II , C), al tercero(III , C) o al cuarto (IV C)
En el sistema sexagesimal, los ángulos se miden en grados,minutos y segundos Cada grado se divide en
1 h 60 minutos 60 segundos
1º 60' 60
2-.Relación entre grados y radianes
Un radián equivale al ángulo definido por el arco de una circunferencia, siendo la longitud de ese arco igual al radio.
Algunas equivalencias entre grados y radianes
0° = 0 Radianes90° = ½ π Radianes
180° = π Radianes
270° = (3/2) π Radianes
360° = 2π Radianes
Conversión entre grados y radianes
Para pasar de grados a radianes y viceversa, utilizamos una regla de tres simple. Tomamos por ejemplo 180° como π Radianes y luego calculamos el número.
Trigonométrica del triangulo
1-. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
En un triangulo rectángulo, los lados que forman el angulo recto se llama catetos y el lado opuesto al angulo recto se denomina hipotenusa. Dado un angulo agudo en un triangulo rectángulo , el cateto que lo forma es su cateto adyacente y el otro cateto opuesto.
2-. Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones
Resolver un triangulo rectángulo significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de los tres ángulos. para esto se requiere conocer al menos:
la longitud de dos lados
la longitud de un lado y la medida de uno de los ángulos agudos.
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